Felix Meybier stammt aus dem Nordschwarzwald und erhielt während der Schulzeit eine fundierte stimmliche Ausbildung in der Christophorus-Kantorei Altensteig. Er studierte an der Musikhochschule Stuttgart zunächst Schulmusik. Es folgten Studiengänge in Orchesterdirigieren an den Hochschulen in Stuttgart (Prof. Per Borin) und Luzern (Prof. Ralf Weikert). Seine Studien vertiefte er bei diversen Meisterkursen, u.a. bei Jorma Panula, Karl-Anton Rickenbacher, Morten Schuldt-Jensen, Daniel Reuss und Nicole Corti. Von 2012–2021 war er am Staatstheater am Gärtnerplatz engagiert, als stellvertretender Chordirektor und später Chordirektor und Kapellmeister.
Felix Meybier pflegt ein breites Spektrum musikalischer Aktivitäten von der chorischen Basisarbeit bis zur Arbeit mit professionellen Sängern und Orchestern. Er dirigierte u.a. Chor & Orchester der Universität Stuttgart, die Stuttgarter Philharmoniker, die Württembergische Philharmonie Reutlingen, das Luzerner Sinfonieorchester und Chor und Orchester des Staatstheaters am Gärtnerplatz. Seit 2018 ist er künstlerischer Leiter des Belcanto Kammerchor München und lehrt seit 2021 Rezitativdirigieren an der HMTM.
Neben seiner Tätigkeit als Dirigent ist Felix Meybier auch als Sänger aktiv und war u.a. Mitglied im Kammerchor Stuttgart und der Gächinger Kantorei. Seit 2022 ist er Mitglied des international bekannten Vokalensembles Singer Pur.